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【未完】ガンマ関数

ガンマ関数

参考

のp118-からを参考

ガンマ関数 {\Gamma} の定義

\begin{equation} \Gamma(p) = \int_0^\infty x^{p-1}e^{-x} dx (p > 0) \ a \end{equation}

上記の式を積分するとxはなくなり、pは残るのでガンマ関数はpの関数になる。

ガンマ関数の性質と証明

\begin{equation} \Gamma(p+1) = p \Gamma(p) \end{equation}

以下証明

\begin{equation}    \Gamma(p+1) = \int_0^\infty x^{p}\ e^{-x} = \int_0^\infty x^{p}\ (-e^{-x})` dx \end{equation}

部分積分を行う

\begin{equation} = \left[ -x^p e^{-x}\ \right] _0^a - \int_0^\infty p x^{p-1} \centerdot (-e^x) dx \end{equation}

\begin{equation} = 0 + p\int_0^\infty x^{p-1} \centerdot e^{-x} dx = p \Gamma(p) \end{equation}