今回は純粋戦略においてのナッシュ均衡を紹介します。
ちなみに、純粋戦略とはプレーヤーが選択肢の中で、
必ず同じ選択肢を選択し続ける戦略のことを言います。
ナッシュ均衡とは
ナッシュ均衡を一言で言ってしまえば
お互いに相手の予想どおりの戦略を選択することが、
お互いにとって最善の選択になっている状態
のことを言います。
各プレーヤーは現在の戦略を変更する理由が無いため、
(戦略を変更すると得られる利益が減少していまうため)
安定している状態と言えます。
そのため、ゲーム理論ではゲームの一つの解(均衡状態)として、ナッシュ均衡を用います。
イラストで説明
図を用いて説明します。
上記のようにプレーヤーが２人いるとします。
各々選択肢(A, B)があるとします。
その時、各プレーヤーが上記のイラストのように、 「お互いに相手の予想どおりの戦略を選択することが、 お互いにとって最善の選択になっている」場合、ナッシュ均衡と言えます。
この例では緑のプレーヤーはAを選択し続け、
白のプレーヤーはBを選択し続けます。
数式で表す
数式で表すと、以下のようになります。
$$\begin{aligned}
u_1 (x^* ,y^*) &\geq u_1 (x ,y^*) \\
u_2 (x^* ,y^*) &\geq u_2 (x^* ,y)
\end{aligned}$$
u_1 (x^* ,y^*) &\geq u_1 (x ,y^*) \\
u_2 (x^* ,y^*) &\geq u_2 (x^* ,y)
\end{aligned}$$
ここで、\(u_n\) はプレーヤーnの利得。
\((x^{\ast} ,y^{\ast})\) はナッシュ均衡の行動の組み合わせ、
\(x\neq x^{\ast} \)ナッシュ均衡の行動 \(x^{\ast}\) 以外の行動を表します。
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