部分積分の証明メモ

部分積分の初歩的なところのメモ

部分積分は以下のように定義される。

\begin{equation}
\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx
\end{equation}

以下証明

\begin{equation}
{f(x)g(x) }‘ = f’(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{equation}

両辺を積分すると、

\begin{equation}
f(x)g(x) = \int { f'(x)g(x) + f(x)g'(x) } dx \\
= \int f'(x)g(x) dx + \int f(x)g'(x) dx
\end{equation}

後は、移項すれば、

\begin{equation}
\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx
\end{equation}

参考

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