モーメント母関数とは
離散確率変数\(X\)と変数\(\theta\)とすると
モーメント母関数\(M(\theta) \)は
$$
\begin{eqnarray}
M(\theta) = E[e^{\theta X}]
\end{eqnarray}
$$
のように定義されます。
このモーメント母関数\(M(\theta) \)は離散確率変数\(X\)の
\(E[X]\), \(E[X^2]\), \(E[X^3]\)などを生み出すことができる関数なので、
母なる関数として母関数と名前についています。
\(E[X] \)をモーメント母関数から求めてみる
\(e^{\theta X}\)をマクローリン展開すると、
$$
\begin{eqnarray}
M(\theta) &=& E[e^{\theta X}] \\
&=& E[1+\frac{\theta X}{1!}+\frac{(\theta X)^2}{2!}+ \cdots] \\
&=& 1 + \frac{\theta}{1!}E[X]+\frac{\theta^2}{2!}E[X^2]+\cdots
\end{eqnarray}
$$
ここから\(E[X] \)を求めていきます。
\(E[X] \)を求める
まず\(M(\theta)\)を\(\theta\)で微分すると
$$
\begin{eqnarray}
M'(\theta) = E[X]+\theta E[X]+\cdots \
\end{eqnarray}
$$
\(\theta\)に0を代入すると \(M'(0) = E[X] \)となり、求めることが出来ました。
\(E[X^2]\)を求めたい場合はさらに\(M'(\theta)\)をさらに微分して、\(\theta\)に0を代入することで求められます。
それ以降も同様です。
