期待値とは
期待値とは、何かしらの試行を行ったときに、結果として得られる数値の平均値のことを言います。
例えば、宝くじを複数回引いたときに得られる利益の平均値を、宝くじの期待値などと言います。
確率変数(\(X\))と確率関数(\(P(x)\))として数式で書くとの期待値は以下のようになります。
$$
\begin{eqnarray}
E[X] = \sum^N_{i=1} x_iP(x_i) = x_1P(x_1) + x_2P(x_2) + \cdots + x_nP(x_n)
\end{eqnarray}
$$
具体例
具体例としてかんたんに宝くじの期待値を求めてみます。
今回の宝くじは以下のような設定であるとします。
- 1等が1万円で当たる確率 1/10
- 2等が5000円で当たる確率 3/10
- それ以外はハズレ 7/10
ここで確率変数xは宝くじで当たる金額、確率関数\(P(x)\)は\(x\)が当たる確率になります。
では、期待値を求めていきます。
まず、期待値は以下の式で表されるので、
$$
\begin{eqnarray}
E[X] = \sum_i x_iP(x_i) = x_1P(x_1) + x_2P(x_2) + x_3P(x_3)
\end{eqnarray}
$$
ここに値を入れていき計算します。
$$
\begin{eqnarray}
E[X] = 10000 \times \frac{1}{10} + 5000 \times \frac{7}{10} + 0 \times \frac{7}{10} \
= 1000 + 1000 + 0 \
= 2000
\end{eqnarray}
$$
となり、この宝くじの期待値は2000円となることがわかります。
