【統計】正規分布の確率密度関数の対数をとる【メモ】

正規分布の確率密度関数の対数を取ると以下のようになります。

\begin{aligned}
\ln \mathcal{N}(x|\mu,\sigma ^2) = - \frac{1}{2}(\ln2\pi +\ln \pi ^2 + \frac{(x-\mu)^2}{\sigma ^2})
\end{aligned}

この式の導出をメモしておきます。

\begin{aligned}
\ln \mathcal{N}(x|\mu,\sigma ^2) &= \ln \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \exp (-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}) \\
&= \ln \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma ^2}} + \ln \exp (-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}) \\
&= \ln1 - \ln (2 \pi \sigma ^2)^{\frac{1}{2}} -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \\
&= 0 - \frac{1}{2}(\ln2\pi +\ln \pi ^2) -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \\
&= - \frac{1}{2}(\ln2\pi +\ln \pi ^2 + \frac{(x-\mu)^2}{\sigma ^2})
\end{aligned}

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