【統計】ポアソン分布

ポアソン分布とは(概要)

ポアソン分布は以下のような確率密度関数で定義される離散型の確率分布の1つです。

\begin{aligned}
P(x)= e^{\lambda}\frac{\lambda ^{-x}}{x!}
\end{aligned}

\(\lambda \)がパラメータです。
\(\lambda\)をいろいろ変えながらプロットしてみました。

こんな感じの形を分布です。
ソースコードはgithubにあげておきました。

ポアソン分布の具体例

ポアソン分布の具体例を考えてみます。
例えば、1日平均5件アクセスがあるサイトがあるとします。
1日のアクセス件数を確率変数Xと定義した場合は、
\(\lambda = 5 \) のポアソン分布として以下のように確率密度関数を表現できます。

\begin{aligned}
P(x)= e^{5}\frac{5 ^{-x}}{x!}
\end{aligned}

ポアソン分布の性質

ポアソン分布の性質を紹介しておきます。

平均・分散等

まず平均と分散ですが、両方とも同じ(\lambda)なのが面白い所です。

  • 平均
    \begin{aligned}
    E[X] = \lambda
    \end{aligned}
  • 分散
    \begin{aligned}
    V[X] = \lambda
    \end{aligned}
  • \(X^2\)の期待値
    \begin{aligned}
    E[X^2] = \lambda(\lambda-1)
    \end{aligned}

モーメント母関数

モーメント母関数は以下のようになります。

\begin{aligned}
M_p(\theta) = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{\theta}}
\end{aligned}

証明

モーメント母関数と平均を証明しておきます。

モーメント母関数

$$
\begin{aligned}
M_p(\theta) = E[e^{\theta X}] &= \sum ^{ \infty }_{x=0}e^{\theta x}P(x) \\
&= \sum ^{ \infty }_{x=0} e^{\theta x} \color{red}{e^{-\lambda}}\frac{\lambda ^{x}} {x!} \\
&= e^{-\lambda} \sum ^{ \infty }_{x=0} e^{\theta x} \frac{\lambda ^{x}} {x!} \\
&= e^{-\lambda} \sum ^{ \infty }_{x=0} \frac{(e^{\theta} \lambda) ^{x}} {x!} \\
&= e^{-\lambda} [ \color{red}{\underbrace{\frac{(e^{\theta} \lambda) ^{0}} {0!}+\frac{(e^{\theta} \lambda) ^{1}} {1!}+\frac{(e^{\theta} \lambda) ^{2}} {2!}+\cdots}_{Maclaurins\ expansion}}] \\
&= e^{-\lambda} e^{\lambda e^{\theta}}
\end{aligned}
$$

平均の導出

モーメント関数をまず微分します。
\begin{aligned}
M^{'}_p(\theta) &= e^{-\lambda} e^{\lambda e^{\theta}} (\lambda e^{\theta})' \\
&= e^{-\lambda} e^{\lambda e^{\theta}} \lambda e^{\theta}
\end{aligned}

\(\theta = 0\) の時が平均なので、

\begin{aligned}
M^{'}_p(0) = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{0}} \lambda e^{0} = \lambda
\end{aligned}

参考文献

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